Банковское дело

При каких значениях параметра а уравнение имеет два различных натуральных корня:ax^2-(a^2+5)x+3a-5=0

При каких значениях параметра а уравнение имеет два различных натуральных корня:ax^2-(a^2+5)x+3a-5=0

  • ax^2-(a^2+5)x+3a-5=0#10;
    Если у данного уравнениясуществуют два различных натуральных корня X1 и X2, то их сумма ипроизведение — тоже натуральные числа. тогда по теореме Виета:

    x_{1} *x_{2} =  frac{3a-5}{a}

     frac{3a-5}{a} =  n_{1} , где n1 — нат. число. Тогда

    3a-5 = n_{1}*a
    Правая часть данного равенства делится на a, значит и левая должна тоже делиться на a. Слева имеем сумму двух слагаемых, чтобы это сумма делилась на a, надо чтобы оба слагаемых делились на a.

    3a делится на а, и 5 должно делиться на а. Т.о. а{ -5, -1, 1, 5}.

    Подставляем поочередно эти значения а в выражениеfrac{3a-5}{a}.

    a=-5,  frac{3*(-5)-5}{-5}= frac{-20}{-5}= 4  #10;a=-1,  frac{3*(-1)-5}{-1}= frac{-8}{-1}= 8  #10;a=1,  frac{3*1-5}{1}= frac{-2}{1}= -2  #10;a=5,  frac{3*5-5}{5}= frac{10}{5}= 2

    Т.о. натуральное значение выражение принимает при а=-5, а=-1 иа=5.
    По т.Виетаx_{1} + x_{2} = frac{a^2+5}{a}
    Проверим при каких из этих значений сумма корней исходного уравнениябудет натуральным числом:

    a=-5;  frac{(-5)^2+5}{-5} =  frac{30}{-5} = -6  #10;a=-1;  frac{(-1)^2+5}{-1} =  frac{6}{-1} = -6  #10;a=5;  frac{5^2+5}{5} =  frac{30}{5} = 6

    Итак,уравнениеможет иметь два различных натуральных корнятолько при a=5. Проверимбудут лиэтом значении а корни исходного уравнениянатуральными числами.
    Приa=5. уравнение примет вид:
    5 x^{2} - 30x +10 =0  #10; x^{2} - 6x +2 =0 #10;D = 28#10;
    значит корни будут иррациональными.

    Ответ: .


Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *